Question

已知直線l與拋物線x²=4y相交于A，B兩點，且與圓（y-1）²+x²=1相切．
（Ⅰ）求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)F是拋物線的焦點，且

FA

•

FB

=0，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b．由直線l與圓（y-1）²+x²=1相切，得 

|b-1|

k2+1

=1，化簡得k²=b²-2b，直線l的方程代入x²=4y，消去y，由直線l與拋物線x²=4y相交于A，B兩點，得△＞0，即可求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（Ⅱ）以

FA

•

FB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）+y₁y₂，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b．由直線l與圓（y-1）²+x²=1相切，
得 

|b-1|

k2+1

=1，化簡得k²=b²-2b．（2分）
直線l的方程代入x²=4y，消去y，得x²-4kx-4b=0．（*） 　　　　�。�3分）
由直線l與拋物線x²=4y相交于A，B兩點，得△=（-4k）²+16b＞0，即k²+b＞0．
將k²=b²-2b代入上式，得b²-b＞0．
解得b＞1，或b＜0．（5分）
注意到k²=b²-2b≥0，從而有b≥2，或b＜0．（6分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（*）得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b．
所以

FA

•

FB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）+y₁y₂=

3

2

x₁x₂+

1

16

（x₁x₂）²-

1

4

（x₁+x₂）²+1．（10分）
將x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b代入上式，令

FA

•

FB

=0，得b²-4k²-6b+1=0．
所以b²-4（b²-2b）-6b+1=0，即3b²-2b-1=0．
解得b=-

1

3

，b=1（舍去）．
故k=±

7

3

．
所以直線l的方程為

7

x+3y+1=0，或

7

x-3y-1=0．（13分）

點評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．