Question

13．已知函數(shù)f（x）=4^x，若4，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2ⁿ⁺³（n∈N^*）構(gòu)成等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè) b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}，n為偶數(shù)\\ n+2，n為奇數(shù)\end{array}$求數(shù)列{$\frac{b_n}{a_n}}$}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合函數(shù)的解析式，計(jì)算可得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)$\frac{b_n}{a_n}}$=c_n，討論n為偶數(shù)和奇數(shù)，運(yùn)用分組求和和裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（I）由4，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2ⁿ⁺³構(gòu)成等比數(shù)列，
設(shè)公比為q，可得2ⁿ⁺³=4qⁿ⁺¹，解得q=2，
即有f（a_n）=${4}^{{a}_{n}}$=4•2ⁿ=2ⁿ⁺²，
可得a_n=$\frac{n+2}{2}$；
（Ⅱ）設(shè)$\frac{b_n}{a_n}}$=c_n，由b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}，n為偶數(shù)\\ n+2，n為奇數(shù)\end{array}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，c_n=$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，c_n=2．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=（c₁+c₃+c₅+…+c_n-1）+（c₂+c₄+c₆+…+c_n）
=（2+2+2+…+2）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=2•$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=n+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=S_n+1-C_n+1=n+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+3}$-（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）
=n+$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$．
綜上可得，$\left\{\begin{array}{l}{n+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}，n為偶數(shù)}\\{n+\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項(xiàng)相消求和，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．