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13.已知函數(shù)f(x)=4x,若4,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+3(n∈N*)構(gòu)成等比數(shù)列.
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè) bn=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n},n為偶數(shù)\\ n+2,n為奇數(shù)\end{array}求數(shù)列{\frac{b_n}{a_n}}}的前n項(xiàng)和為Sn

分析 (I)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,結(jié)合函數(shù)的解析式,計(jì)算可得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)\frac{b_n}{a_n}}=cn,討論n為偶數(shù)和奇數(shù),運(yùn)用分組求和和裂項(xiàng)相消求和,計(jì)算即可得到所求和.

解答 解:(I)由4,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+3構(gòu)成等比數(shù)列,
設(shè)公比為q,可得2n+3=4qn+1,解得q=2,
即有f(an)={4}^{{a}_{n}}=4•2n=2n+2,
可得an=\frac{n+2}{2};
(Ⅱ)設(shè)\frac{b_n}{a_n}}=cn,由bn=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n},n為偶數(shù)\\ n+2,n為奇數(shù)\end{array},
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cn=\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2};當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),cn=2.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=(c1+c3+c5+…+cn-1)+(c2+c4+c6+…+cn
=(2+2+2+…+2)+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}
=2•\frac{n}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=n+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=Sn+1-Cn+1=n+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+3}-(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}
=n+\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}
綜上可得,\left\{\begin{array}{l}{n+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2},n為偶數(shù)}\\{n+\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1},n為奇數(shù)}\end{array}\right.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的求和方法:分組求和和裂項(xiàng)相消求和,運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

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