Question

偶函數滿足，當時, ，則關于的方程在上解的個數是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

D  

試題分析：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），
∴原函數的周期T=2，又∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x），
又∵x∈[0，1]時，，函數的周期為2，
∴原函數的對稱軸是x=1，且f（-x）=f（x+2）。
設y₁=f(x) ，y₂=，方程根的個數，即為函數y₁=f(x) ，y₂= y₂=的圖象交點的個數．
由以上條件，可畫出y₁=f(x) ，y₂=的圖象，

當x=時，y₁＞y₂，當x=1時，y₁＜y₂，
故在（，1）上有一個交點．
結合圖象可得在[0，3]上y₁=f（x），y₂=共有4個交點，
∴在[0，3]上，原方程有4個根，故選D．
點評：難題，本題綜合考查函數的奇偶性、周期性、單調性，函數的圖象，函數零點的概念，一次函數、指數函數的圖象和性質。由已知條件確定函數的性質是解題的關鍵。