Question

5．上海磁懸浮列車工程西起龍陽路地鐵站，東至浦東國際機場，全線長35km．已知運行中磁懸浮列車每小時所需的能源費用（萬元）和列車速度（km/h）的立方成正比，當速度為100km/h時，能源費用是每小時0.04萬元，其余費用（與速度無關）是每小時5.12萬元，已知最大速度不超過C（km/h）（C為常數，0＜C≤500）．
（1）求列車運行全程所需的總費用y與列車速度v的函數關系，并求該函數的定義域；
（2）當列車速度為多少時，運行全程所需的總費用最低？

Answer 1

分析 （1）依題意要明確三點：1、列車運行的總費用由兩部分組成，即能源費用及其余費用，2、為了求出能源費用，還必須求出列車每小時使用的能源費用與列車速度的立方成正比的比例系數，3、要注意實際背景下的函數定義域，以獲得具有實際意義的答案．
（2）利用基本不等式求出函數的最小值，注意定義域．

解答 解：（1）設能源費用每小時是q千元，車速是vkm/h，依題意有q=kv³（k為比例系數），
將v=100，q=0.04代入得k=4×10^-8．于是有q=4×10^-8v³．
因此列車從甲地行駛到乙地，所需的總費用為y=f（x）=1.4×10^-6v²+$\frac{35}{v}×5.12$（0＜v≤C）（C為常數，0＜C≤500）．
（2）因為f（x）=1.4×10^-6v²+$\frac{35}{v}×5.12$，
所以f′（x）=2.8×10^-6v-$\frac{179.2}{{v}^{2}}$=0，v=400
所以0＜C≤400，函數在（0，400]上單調遞減，v=C時，運行全程所需的總費用最低；
400≤C≤500時，v=400，運行全程所需的總費用最低．

點評 本題主要考查了函數模型的選擇與應用，同時考查了利用導數知識求函數的最值，屬于中檔題．