Question

在平面直角坐標系xOy中，設曲線C：xy=1在矩陣

.

cosθ sinθ -sinθ cosθ

.

（0≤θ＜

π

2

）對應的變換作用下得到曲線F，且曲線F的方程為x²-y²=a²（a＞0），求θ和a的值．

Answer 1

分析：設P（x₀，y₀）是曲線C上任意一點，則P（x₀，y₀）在矩陣[

cosθ sinθ -sinθ cosθ

]對應的變換作用下變?yōu)镻′（x₀′，y₀′）滿足[

x ′ 0   y ′ 0

]=[

cosθ sinθ -sinθ cosθ

][

x0   y0

]，由P滿足x₀y₀=1可得（

x

′  2 0

-

y

′  2 0

）sinθcosθ+（cos²θ-sin²θ）x₀′y₀′=1，結合曲線F的方程，可得θ，進而得到a值．

解答：解：設P（x₀，y₀）是曲線C上任意一點，
點P（x₀，y₀）在矩陣[

cosθ sinθ -sinθ cosθ

]（0≤θ＜

π

2

）對應的變換作用下變?yōu)镻′（x₀′，y₀′）
則由[

x ′ 0   y ′ 0

]=[

cosθ sinθ -sinθ cosθ

][

x0   y0

]
∴[

x0   y0

]=[

cosθ -sinθ sinθ cosθ

][

x ′ 0   y ′ 0

]
∴

x0= x ′ 0 cosθ- y ′ 0 sinθ y0= x ′ 0 sinθ+ y ′ 0 cosθ

又∵點P在曲線C上，
∴由x₀y₀=1得：（

x

′  2 0

-

y

′  2 0

）sinθcosθ+（cos²θ-sin²θ）x₀′y₀′=1（*）
要使（*）變?yōu)閤²-y²=a²（a＞0），
須有：cos²θ-sin²θ=cos2θ=0
∵0≤θ＜

π

2

∴θ=

π

4

此時a=

2

∴θ=

π

4

，a=

2

點評：本題考查的知識點是系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組，其中熟練掌握矩陣的運算方法是解答的關鍵．