Question

9．如圖，內外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC、BD，設內層橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），若直線AC與BD的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，則橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 由于內層橢圓和外層橢圓的離心率相等，不妨設外層橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{（ma）^{2}}+\frac{{y}^{2}}{（mb）^{2}}$=1，設切線AC的方程為y=k₁（x-ma），代入橢圓方程消去y得：$（{k}_{1}^{2}{a}^{2}+^{2}）$x²-2m${k}_{1}^{2}{a}^{3}$x+${m}^{2}{k}_{1}^{2}{a}^{4}$-a²b²=0，由△=0，化簡得：${k}_{1}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{1}{{m}^{2}-1}$，同理可得${k}_{2}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}•（{m}^{2}-1）$，利用${k}_{1}^{2}{k}_{2}^{2}$=$\frac{^{4}}{{a}^{4}}$=$（-\frac{1}{4}）^{2}$，可得$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，即可得出橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．

解答 解：由于內層橢圓和外層橢圓的離心率相等，不妨設外層橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{（ma）^{2}}+\frac{{y}^{2}}{（mb）^{2}}$=1，
設切線AC的方程為y=k₁（x-ma），代入橢圓方程消去y得：$（{k}_{1}^{2}{a}^{2}+^{2}）$x²-2m${k}_{1}^{2}{a}^{3}$x+${m}^{2}{k}_{1}^{2}{a}^{4}$-a²b²=0，
由△=$（-2m{k}_{1}^{2}{a}^{3}）^{2}$-4$（{k}_{1}^{2}{a}^{2}+^{2}）$（${m}^{2}{k}_{1}^{2}{a}^{4}$-a²b²）=0，
化簡得：${k}_{1}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{1}{{m}^{2}-1}$，
同理可得${k}_{2}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}•（{m}^{2}-1）$，
∴${k}_{1}^{2}{k}_{2}^{2}$=$\frac{^{4}}{{a}^{4}}$=$（-\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{1}{16}$，
因此$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相切的充要條件、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．