分析 (I)列出梯形ABCD的面積 SABCD=\frac{2cosθ+2}{2}-sinθ=sinθcosθ+sinθ,θ∈(0,\frac{π}{2}),
求解體積V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),θ∈(0,\frac{π}{2}).
(II)得出g(θ)=-2sin2\frac{θ}{2}+2sin\frac{θ}{2}+2,利用二次函數(shù)求解即可.
(III)V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),θ∈(0,\frac{π}{2}),求解導(dǎo)數(shù)得出V′(θ)=10(2cos2θ+cosθ-1)=10(2cosθ-1)(cosθ+1),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解.
解答 解:(Ⅰ)木梁的側(cè)面積S=10(AB+2BC+CD)
=10(2+4sin\frac{θ}{2}+2cosθ)=20(cosθ+2sin\frac{θ}{2}+1),θ∈(0,\frac{π}{2}),
梯形ABCD的面積SABCD=\frac{2cosθ+2}{2}-sinθ=sinθcosθ+sinθ,θ∈(0,\frac{π}{2}),
體積V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),θ∈(0,\frac{π}{2});
(Ⅱ)木梁的側(cè)面積S=10(AB+2BC+CD)=10(2+4sin\frac{θ}{2}+2cosθ)
=20(cosθ+2sin\frac{θ}{2}+1),θ∈(0,\frac{π}{2}),
設(shè)g(θ)=cosθ+2sin\frac{θ}{2}+1,g(θ)=-2sin2\frac{θ}{2}+2sin\frac{θ}{2}+2,
∴當(dāng)sin\frac{θ}{2}=\frac{1}{2},θ∈(0,\frac{π}{2}),
即θ=\frac{π}{3}時(shí),木梁的側(cè)面積s最大.
所以θ=\frac{π}{3}時(shí),木梁的側(cè)面積s最大為40m2.
(Ⅲ)V′(θ)=10(2cos2θ+cosθ-1)=10(2cosθ-1)(cosθ+1)
令V′(θ)=0,得cosθ=\frac{1}{2},或cosθ=-1(舍)∵θ∈(0,\frac{π}{2}),∴θ=\frac{π}{3}.
當(dāng)θ∈(0,\frac{π}{3})時(shí),\frac{1}{2}<cosθ<1,V′(θ)>0,V(θ)為增函數(shù);
當(dāng)θ∈(\frac{π}{3},\frac{π}{2})時(shí),0<cosθ<,V′(θ)>0,V(θ)為減函數(shù).
∴當(dāng)θ=\frac{π}{3}時(shí),體積V最大.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用,導(dǎo)數(shù)在解決復(fù)雜函數(shù)最值中的運(yùn)用,關(guān)鍵準(zhǔn)確求解導(dǎo)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | \frac{32}{3}(1-\frac{1}{{4}^{n}}) | B. | \frac{32}{3}(1-\frac{1}{{2}^{n}}) | C. | 16(1-\frac{1}{{4}^{n}}) | D. | 16(1-\frac{1}{{2}^{n}}) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | (2,3) | B. | (1,2) | C. | (0,1) | D. | (3,4) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | \sqrt{6}米 | B. | 2\sqrt{6}米 | C. | 6米 | D. | 8米 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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