Question

8．一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為1m，長(zhǎng)為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個(gè)部分，現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工成直四棱柱木梁，長(zhǎng)度保持不變，底面為等腰梯形ABCD（如圖所示，其中O為圓心，C，D在半圓上），設(shè)∠BOC=θ，直四棱柱木梁的體積為V（單位：m³），側(cè)面積為S（單位：m²）．
（Ⅰ）分別求V與S關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅱ）求側(cè)面積S的最大值；
（Ⅲ）求θ的值，使體積V最大．

Answer 1

分析 （I）列出梯形ABCD的面積 S_ABCD=$\frac{2cosθ+2}{2}$-sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
求解體積V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（II）得出g（θ）=-2sin²$\frac{θ}{2}$+2sin$\frac{θ}{2}$+2，利用二次函數(shù)求解即可．
（III）V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求解導(dǎo)數(shù)得出V′（θ）=10（2cos²θ+cosθ-1）=10（2cosθ-1）（cosθ+1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解．

解答 解：（Ⅰ）木梁的側(cè)面積S=10（AB+2BC+CD）
=10（2+4sin$\frac{θ}{2}$+2cosθ）=20（cosθ+2sin$\frac{θ}{2}$+1），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
梯形ABCD的面積S_ABCD=$\frac{2cosθ+2}{2}$-sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
體積V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$）；
（Ⅱ）木梁的側(cè)面積S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin$\frac{θ}{2}$+2cosθ）
=20（cos$θ+2sin\frac{θ}{2}$+1），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
設(shè)g（θ）=cos$θ+2sin\frac{θ}{2}$+1，g（θ）=-2sin²$\frac{θ}{2}$+2sin$\frac{θ}{2}$+2，
∴當(dāng)sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
 即θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，木梁的側(cè)面積s最大．
所以θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，木梁的側(cè)面積s最大為40m²．
（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos²θ+cosθ-1）=10（2cosθ-1）（cosθ+1）
令V′（θ）=0，得cosθ=$\frac{1}{2}$，或cosθ=-1（舍）∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ=$\frac{π}{3}$．
當(dāng)θ∈（0，$\frac{π}{3}$）時(shí)，$\frac{1}{2}$＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V_（θ）為增函數(shù)；
當(dāng)θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）時(shí)，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V_（θ）為減函數(shù)．
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，體積V最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，導(dǎo)數(shù)在解決復(fù)雜函數(shù)最值中的運(yùn)用，關(guān)鍵準(zhǔn)確求解導(dǎo)數(shù)．