Question

（1）設(shè)不等式x²－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

（2）解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1)。

Answer 1

（1）a的取值范圍是(－1，)（2）當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)；當(dāng)a=0時(shí)，解集為；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(，2)。

解析:

（1）M［1，4］有兩種情況：其一是M=，此時(shí)Δ＜0；其二是M≠，此時(shí)Δ=0或Δ＞0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍

設(shè)f(x)=x² －2ax+a+2，有Δ=(－2a)²－(4a+2)=4(a²－a－2)

當(dāng)Δ＜0時(shí)，－1＜a＜2，M=［1，4］；

當(dāng)Δ=0時(shí)，a=－1或2；

當(dāng)a=－1時(shí)M={－1}［1，4］；當(dāng)a=2時(shí)，m={2}［1，4］。

當(dāng)Δ＞0時(shí)，a＜－1或a＞2。

設(shè)方程f(x)=0的兩根x₁，x₂，且x₁＜x₂，

那么M=［x₁，x₂］，M［1，4］1≤x₁＜x₂≤4，

即，解得2＜a＜，

∴M［1，4］時(shí)，a的取值范圍是(－1，)。

（2）原不等式可化為：＞0，

①當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解。

由于，

∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞)。

②當(dāng)a＜1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2) ＜0同解。

由于，

若a＜0，，解集為(，2)；

若a=0時(shí)，，解集為；

若0＜a＜1，，解集為(2，)。

綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)；當(dāng)a=0時(shí)，解集為；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(，2)。