Question

19．數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$（n∈N^*）
（1）證明：數列{$\frac{2^n}{a_n}$}是等差數列；
（2）設b_n=$\frac{{{2^{n+1}}}}{a_n}$+3，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$（n∈N^*），可得$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1，即可證明．
（2）由（1）可得：$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2+（n-1），代入可得b_n=$\frac{{{2^{n+1}}}}{a_n}$+3=2n+5，利用等差數列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$（n∈N^*），∴$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1，
∴數列{$\frac{2^n}{a_n}$}是等差數列，首項為2，公差為1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴b_n=$\frac{{{2^{n+1}}}}{a_n}$+3=2（n+1）+3=2n+5，
∴數列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{n（7+2n+5）}{2}$=n²+6n．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其求和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．