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12.食品安全是關乎到人民群眾生命的大事.某市質(zhì)檢部門為了解該市甲、乙兩個食品廠生產(chǎn)食品的質(zhì)量,從兩廠生產(chǎn)的食品中分別隨機抽取各10件樣品,測量產(chǎn)品中某種元素的含量(單位:毫克).如圖是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖:

規(guī)定:當食品中的此種元素含量不小于18毫克時,該食品為優(yōu)等品.
(Ⅰ)試用上述樣本數(shù)據(jù)估計甲、乙兩廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率;
(Ⅱ)從乙廠抽出的上述10件樣品中,隨機抽取3件,求抽到的3件樣品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學期望E(ξ);
(Ⅲ)從甲廠的10件樣品中有放回的隨機抽取3件,也從乙廠的10件樣品中有放回的隨機抽取3件,求抽到的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率.

分析 (Ⅰ)甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件,乙廠抽取的優(yōu)等品率有5件,由此能估計甲、乙兩廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率.
(Ⅱ)由題意得ξ的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應的概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ.
(Ⅲ)抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件,即A=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠2件,乙廠0件“,B=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠3件,乙廠1件“,由此能求出抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件,優(yōu)等品率為610=35,
乙廠抽取的優(yōu)等品率有5件,優(yōu)等品率為510=12
(Ⅱ)由ξ的值0,1,2,3,
P(ξ=0)=C05C35C310=112,
P(ξ=1)=C15C25C310=512,
P(ξ=2)=C25C15C310=512,
P(ξ=3)=C35C310=112,
ξ的分布列為:

 ξ 0 1 2 3
 P 112 512 512 112
Eξ=0×112+1×512+2×512+3×112=32
(Ⅲ)抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件,
即A=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠2件,乙廠0件“,
B=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠3件,乙廠1件“,
P(A)=C2325225×C03120123=27500,
P(B)=C33353×C1312122=811000
∴抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率P=P(A)+P(B)=27500+811000=27200

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,是中檔題,在歷年高考中都是必考題型之一.

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