4．已知雙曲線方程為x2-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，過點P（1，1）的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l的條數(shù)共有（　�。�
A．4條B．3條C．2條D．1條

分析 求出雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線方程y=±2x，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)討論，直線l與雙曲線相切，有兩條，一條為斜率不存在的和另一條斜率存在，由判別式為0，解得斜率；直線l與漸近線平行的有兩條，共有4條．

解答 解：雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線方程為y=±2x，
①直線l：x=1與雙曲線只有一個公共點；
②過點P （1，1）平行于漸近線y=±2x時，直線l與雙曲線只有一個公共點；
③設(shè)過P的切線方程為y-1=k（x-1）與雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1聯(lián)立，
可得（4-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-4=0，
由△=0，即4k2（1-k）2+4（4-k2）[（1-k）2-4]=0，解得k=$\frac{5}{2}$，直線l的條數(shù)為1．
綜上可得，直線l的條數(shù)為4．
故選：A．

點評 本題以雙曲線為載體，主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，突出考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題和易錯題．

練習(xí)冊系列答案
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14．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上存在四個不同的點A、B、C、D，使四邊形ABCD為菱形，則$\frac{a}$的取值范圍為$\frac{a}$＞1．

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15．已知雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{3}{4}$x，其圖象過點（4，3$\sqrt{2}}$），F(xiàn)1，F(xiàn)2是其兩個焦點，若雙曲線上的點P滿足|PF1|=7，則|PF2|=13．

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19．設(shè)F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為M，交另一條漸近線于點N，若3$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$，則雙曲線C的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

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9．已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，雙曲線的右支上有一點P，∠F1PF2=$\frac{π}{3}$，且△PF1F2的面積為2$\sqrt{3}$，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程．

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16．已知函數(shù)f（x）=-$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+4}$（x＞0），在數(shù)列{an}中，a1=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f（an），n∈N*，設(shè)bn=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T20=2．

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13．某校教師進(jìn)行體格檢查，測得他們的收縮壓（血壓，單位：毫米汞柱）的值如表所示：
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 人數(shù) 24 62 7226  124
求該校教師收縮壓的平均數(shù)和中位數(shù)（用各收縮壓范圍的中點的值代表該范圍取值，結(jié)果精確到0.1）

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14．已知函數(shù)f（x）=x2+1，g（x）=lg（2x-1），求f（2x-1），f（g（x）），g（f（x））．

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