Question

【題目】已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三個(gè)點(diǎn)在橢圓C上，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)左焦點(diǎn)F1且不平行坐標(biāo)軸的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若PQ的中點(diǎn)為N，O為原點(diǎn)，直線ON交直線x＝﹣3于點(diǎn)M，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得P2，P3，P4在橢圓上，進(jìn)而求出橢圓的方程；

（2）由（1）可得F1的坐標(biāo)，由題意設(shè)直線l的方程與橢圓聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，求出PQ的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由直線ON與x＝﹣3，求出M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的表達(dá)式，換元由二次函數(shù)配方可得其最大值．

解：（1）由橢圓的對(duì)稱(chēng)性易知，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

一定都在橢圓上．所以一定不在橢圓上．

根據(jù)題意也在橢圓上，

將，帶入橢圓方程，解得橢圓方程為；

（2）設(shè)直線l方程為y＝k（x+2）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立，可得（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6＝0；

則 ＝24（k2+1）＞0，且，，

設(shè)PQ的中點(diǎn)N（x0，y0），則，，

∴N坐標(biāo)為，，；

因此直線ON的方程為，從而點(diǎn)M為，又F1（﹣2，0），

所以，令u＝3k2+1≥1，

則，

因此當(dāng)u＝4，即k＝±1時(shí)h（u）最大值為3．

所以取得最大值．