Question

（2008•徐匯區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程x²-ax+ab=0，其中a，b為實(shí)數(shù)，且a≠0．
（1）若x=1-

3

i (i為虛數(shù)單位）是該方程的一個(gè)根，求a，b的值；
（2）當(dāng)該方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，證明：

b

a

＞

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知，得另一根為x′=1+

3

i，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出a和b的值
（2）方程沒有實(shí)數(shù)根，則△＜0，化簡后再證明．

解答：解：（1）根據(jù)一元二次方程有虛數(shù)解時(shí)，兩根互為共軛虛數(shù)．由x=1-

3

i，得另一根為x′=1+

3

i，
由韋達(dá)定理得x+x′=a=2，ab=x•x′=(1-

3

i)(1+

3

i)=4，b=2．----------------（6分）
（2）方程沒有實(shí)數(shù)根 則由△=a2-4ab＜0⇒1-

4b

a

＜0⇒

b

a

＞

1

4

----------（12分）

點(diǎn)評：本題考查一元二次方程解，及根與系數(shù)的關(guān)系．若一元二次方程有虛數(shù)解，則兩根互為共軛虛數(shù)，且韋達(dá)定理仍然成立．