Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PDC⊥底面ABCD，PD=DC，∠PDC=90°，E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）若EF⊥PB于F，求證：PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）若DC=2，求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由線面平行的判定定理，須先作輔助線證線線平行，從而可證線面平行；
（Ⅱ）由線面垂直的判定定理，須先證PB垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，從而可證線面垂直；
（Ⅲ）取DC中點(diǎn)G，連接EG，證明EG⊥平面ABCD，利用V_E-BCD=

1

3

S_△BCD•EG，即可求出三棱錐E-BCD的體積．

解答： （I）證明：在正方形ABCD中，連接AC，交BD于O點(diǎn)，連接EO，
∵四邊形ABCD為正方形，∴O為AC中點(diǎn)，
∵E為PC中點(diǎn)，∴EO∥PA，
∵PA?面EDB，EO?面EDB，
∴：PA∥平面EDB；
（II）證明：∵側(cè)面PDC⊥底面ABCD，且側(cè)面PDC∩底面ABCD=CD，
在面ABCD中，BC⊥CD，
∴BC⊥面PCD
∴BC⊥DE
又∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)
∴PC⊥DE
又∵PC∩BC=C
∴DE⊥面PBC
∴DE⊥PB
又∵EF⊥PB，DE∩EF=E
∴PB⊥平面EFD．
（III）解：取DC中點(diǎn)G，連接EG．∴EG∥PD，EG=1，
∵PD⊥DC，側(cè)面PDC⊥底面ABCD，且側(cè)面PDC∩底面ABCD=CD，
∴PD⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，
∴V_E-BCD=

1

3

S_△BCD•EG=

1

3

（

1

2

BC•DC）•EG=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查三棱錐體積的計(jì)算，須能靈活應(yīng)用這些定理，并有較強(qiáng)的空間立體感．屬中等題．