Question

已知函數(shù)f（x）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=log₂x+x-3．
（1）求f（-1）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）求證：方程f（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有唯一解．

Answer 1

解 （1）因為函數(shù)f（x）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，所以對任意的x∈R，都有f（-x）=-f（x）．
所以f（-1）=-f（1）．
因為當(dāng)x＞0時，f（x）=log₂x+x-3，所以f（1）=log₂1+1-3=-2．
所以 f（-1）=-f（1）=2． …（3分）
（2）當(dāng)x=0時，f（0）=f（-0）=-f（0），解得f（0）=0；
當(dāng)x＜0時，-x＞0，所以f（-x）=log₂（-x）+（-x）-3=log₂（-x）-x-3．
所以-f（x）=log₂（-x）-x-3，從而f（x）=-log₂（-x）+x+3．
所以f（x）=（6分）
（3）證明：因為f（2）=log₂2+2-3=0，所以方程f（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有解x=2．
又方程f（x）=0可化為log₂x=3-x．
設(shè)函數(shù)g（x）=log₂x，h（x）=3-x．
由于g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
所以，方程g（x）=h（x） 在區(qū)間（0，+∞）上只有一個解．
所以，方程f（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有唯一解． …（10分）
說明：指出有解（2分），指出單調(diào)性（2分）．
分析：（1）由題意可得f（-x）=-f（x），則f（-1）=-f（1），代入可求
（2）要求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，只要求解x≤0時的f（x），根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（0）=0；當(dāng)x＜0時，-x＞0，代入已知當(dāng)x＞0時，f（x）=log₂x+x-3，可求
（3）先由f（2）=0，可得方程f（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有解x=2．然后再利用函數(shù)的單調(diào)性證明x=2是唯一的解即可
點評：本題主要考查了利用賦值求解函數(shù)值及奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷方程根的個數(shù)，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用