Question

18．已知函數(shù)f（x）=4sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜π）的圖象各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到g（x）=4sinx的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{5}$]上的值域；
（3）求證：對任意λ＞0，都存在μ＞0，使f（x）+x-4＜0對x∈（-∞，λμ）恒成立．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．
（2）利用定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{5}$]上的值域．
（3）分類討論，可得當x≤$\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）的圖象位于直線y=4-x的下方，由此證得結(jié)論成立．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=4sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜π）的圖象各點的縱坐標不變，
橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，
得到g（x）=4sinx=4sin（$\frac{1}{2}$ωx+φ）的圖象，
∴$\frac{1}{2}$•ω=1，且 φ=0，∴ω=2，∴f（x）=4sin2x．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，
可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{5}$]上，2x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{5}$]，∴sin2x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴4sin2x∈[-2，4]．
（3）不等式f（x）+x-4＜0，即 f（x）＜4-x，故函數(shù)f（x）的圖象位于直線y=4-x的下方．
顯然，當x≤0時，函數(shù)f（x）的圖象位于直線y=4-x的下方．
當x∈（0，$\frac{π}{12}$]時，f（x）單調(diào)遞增，f（$\frac{π}{12}$）=2，顯然f（$\frac{π}{12}$）＜4-$\frac{π}{12}$，
即函數(shù)f（x）的圖象位于直線y=4-x的下方．
綜上可得，當x≤$\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）的圖象位于直線y=4-x的下方．
對任意λ＞0，一定存在μ=$\frac{π}{12λ}$＞0，使λμ=$\frac{π}{12}$，滿足函數(shù)f（x）的圖象位于直線y=4-x的下方．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，以及它的圖象的對稱性，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．