Question

已知橢圓C₁：

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率
（1）求橢圓C₂的普通方程
（2）設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C₁和C₂上，

OB

=2

OA

，求直線AB的方程．《用參數(shù)方程的知識求解》

Answer 1

分析：（1）求出橢圓C₁：

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）的普通方程，進而得到它的長軸長，離心率，根據(jù)橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率，即可確定橢圓C₂的方程；
（2）設A，B的極坐標分別為A（2cosθ，sinθ），B（2cos?，4sin?），根據(jù)

OB

=2

OA

，得到

2cos?=4cosθ 4sin?=sinθ

，解得tan?=±

1

2

，即可求得直線AB的方程．

解答：解：（1）橢圓C₁：

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)） 的普通方程為

x2

4

+y2=1
∵橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率
∴可設橢圓C₂的普通方程為

y2

a2

+

x2

4

=1
∵e2=

a2-4

a2

=

4-1

4

，∴a²=16
故橢圓C₂的普通方程為

y2

16

+

x2

4

=1；
（2）橢圓C₁，C₂的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=sinθ

，

x=2cos? y=4sin?

∴A（2cosθ，sinθ），B（2cos?，4sin?）
∵

OB

=2

OA

，∴（2cos?，4sin?）=2（2cosθ，sinθ）
∴

2cos?=4cosθ 4sin?=sinθ

，整理得(

cos?

2

)2+(4sin?)2=1
∴sin2?=

1

5

，∴tan?=±

1

2

直線AB的方程為 y=

4sin?

2cos?

x=±x，
∴AB的方程為y=±x．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是掌握橢圓幾何量關系，聯(lián)立方程組求解．