Question

18．己知（1+2x）²ⁿ展開式的二項式系數(shù)之和是（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式的二項式系數(shù)之和的64倍．
（1）求（1+2x）²ⁿ展開式的第3項；
（2）求（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式含x的項．

Answer 1

分析 （1）由二項式系數(shù)的性質(zhì)列出方程求出n的值，再求（1+2x）¹²展開式的第3項即可；
（2）由二項式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開式的通項公式，即可求出展開式中含x的項．

解答 解：（1）由二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得：
2²ⁿ=64×2ⁿ，解得n=6；
所以（1+2x）¹²展開式的第3項為：
T₂₊₁=C₁₂²•（2x）²=264x²；
（2）由二項式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開式的通項公式為：
T_r+1=C₆^r•（2$\sqrt{x}$）^6-r•（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^r=（-1）^r•2^6-r•C₆^r•x^3-r，
令3-r=1，可得r=2，
所以其展開式中含x項為：
T₂₊₁=2⁴•${C}_{6}^{2}$x=240x．

點評 本題考查了二項式定理的應用問題，解題時應注意項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別．