Question

設f（x）是偶函數，且當x≥0時，．
（1）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（2）設函數f（x）在區(qū)間[-5，5]上的最大值為g（a），試求g（a）的表達式．

Answer 1

解：（1）由題意得，當-3≤x＜0時，f（x）=f（-x）=（-x）（3+x）=-x（x+3），
同理，當x＜-3時，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
所以，當x＜0時，f（x）的解析式為f（x）=；
（2）因為f（x）是偶函數，所以它在區(qū)間[-5，5]上的最大值即為它在區(qū)間[0，5]上的最大值，
①當a≤3時，f（x）在[0，]上單調遞增，在[，+∞）上單調遞減，
所以g（a）=f（）=；
②當3＜a≤7時，f（x）在[0，]與[3，]上單調遞增，在[，3]與[，5]上單調遞減，
所以此時只需比較f（）=與f（）=的大小．
1°當3＜a≤6時，f（）=≥f（）=，所以g（a）=f（）=，
2°當6＜a≤7時，f（）=＜f（）=，所以g（a）=f（）=，
3°當a＞7時，f（x）在[0，]與[3，5]上單調遞增，在[，3]上單調遞減，
且f（）=＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5），
綜上所述，g（a）=．
分析：（1）設-3≤x＜0、x＜-3，利用偶函數性質及已知函數的解析式，即可求得結論；
（2）因為f（x）是偶函數，所以它在區(qū)間[-5，5]上的最大值即為它在區(qū)間[0，5]上的最大值，分類討論，即可求得結論；
點評：本題考查函數解析式的確定，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．