已知數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列,{bn}數(shù)列是以q為公比的等比數(shù)列.
(Ⅰ)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2-2010,求整數(shù)q的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,試問(wèn)數(shù)列中是否存在一項(xiàng)bk,使得bk恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p(p∈N,p≥2)項(xiàng)的和?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中t>s>r,且(s-r)是(t-r)的約數(shù)),求證:數(shù)列{bn}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的項(xiàng).
【答案】分析:(Ⅰ)由等差等比數(shù)列的表達(dá)式an=2n,bn=2•qn-1,代入S3<a1003+5b2-2010直接求解即得到答案.
(Ⅱ)可以先假設(shè)數(shù)列{bn}中存在一項(xiàng)bk,滿足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1,再根據(jù)已知的條件去驗(yàn)證,看是否能找出矛盾.如果沒(méi)有矛盾即存在,否則這樣的項(xiàng)bk不存在;
(Ⅲ)由已知條件b1=ar,得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d,和等差等比數(shù)列的性質(zhì),由數(shù)學(xué)歸納法求證數(shù)列中每一項(xiàng)是否都是數(shù)列中的項(xiàng).
解答:解:(Ⅰ)由題意知,an=2n,bn=2•qn-1,所以由S3<a1003+5b2-2010,
可得到b1+b2+b3<a1003+5b2-2010⇒b1-4b2+b3<2006-2010⇒q2-4q+3<0.
解得1<q<3,又q為整數(shù),所以q=2;
故答案為2.
(Ⅱ)假設(shè)數(shù)列{bn}中存在一項(xiàng)bk,滿足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1,
因?yàn)閎n=2n,∴bk>bm+p-1⇒2k>2m+p-1⇒k>m+p-1⇒k≥m+p(*)

=2m+p-2m<2m+p,所以k<m+p,此與(*)式矛盾.
所以,這樣的項(xiàng)bk不存在;
故答案為不存在.
(Ⅲ)由b1=ar,得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d,

,
從而,
因?yàn)閍s≠ar⇒b1≠b2,所以q≠1,又ar≠0,
.又t>s>r,且(s-r)是(t-r)的約數(shù),
所以q是整數(shù),且q≥2,
對(duì)于數(shù)列中任一項(xiàng)bi(這里只要討論i>3的情形),
有bi=arqi-1=ar+ar(qi-1-1)
=ar+ar(q-1)(1+q+q2++qi-2
=ar+d(s-r)(1+q+q2++qi-2
=ar+[((s-r)(1+q+q2++qi-2)+1)-1]•d,
由于(s-r)(1+q+q2++qi-2)+1是正整數(shù),所以bi一定是數(shù)列{an}的項(xiàng).
故得證.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查等差等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,以及數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用,題目較為復(fù)雜,需要一步一步的分析求解,計(jì)算量要求較高,屬于難題.
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cn
)(n≥2)
,且c1=6,一條漸近線方程為y=
2
x

(1)求數(shù)列{cn}(n∈N*)的通項(xiàng)公式;
(2)試判斷:對(duì)一切自然數(shù)n(n∈N*),不等式
1
c1
+
2
c2
+
3
c3
+…+
n
cn
+
n
3•2n
2
3
是否恒成立?并說(shuō)明理由.

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8
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