給定橢圓 ,稱圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,且其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)作直線,使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷是否垂直,并說明理由.

(Ⅰ);(Ⅱ)垂直.

解析試題分析:(Ⅰ)利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求出,利用短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為,求出,解出,,寫出橢圓方程,通過得到的,求出準(zhǔn)圓的半徑,直接寫出準(zhǔn)圓方程;(Ⅱ)分情況討論:①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時(shí),②當(dāng)的斜率都存在時(shí).
試題解析:(Ⅰ)由題意可知,則,
所以橢圓方程為.                  2分
易知準(zhǔn)圓半徑為,
則準(zhǔn)圓方程為.                     4分
(Ⅱ)①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時(shí),
不妨設(shè)的斜率不存在,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1c/9/18cbd2.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),則其方程為,
當(dāng)的方程為時(shí),此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn),,
此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是
,顯然直線垂直;           6分
同理可證直線的方程為時(shí),直線也垂直.      7分
②當(dāng)的斜率都存在時(shí),設(shè)點(diǎn),其中.
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為
消去,得.
化簡(jiǎn)整理得,.  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ab/7/wqzdg1.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以有.                10分
設(shè)直線的斜率分別為,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/38/0/vuki72.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),
所以滿足方程,
所以,即垂直.                  12分
綜合①②知,垂直.                       13分
考點(diǎn):1.橢圓方程;2.分類討論思想解題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)l的斜率為1時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立?若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,設(shè)AB,CD為⊙O的兩直徑,過B作PB垂直于AB,并與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,過P作直線與⊙O分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),連結(jié)AE,AF分別與CD交于G、H

(Ⅰ)設(shè)EF中點(diǎn)為,求證:O、、B、P四點(diǎn)共圓
(Ⅱ)求證:OG =OH.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,A,C關(guān)于軸對(duì)稱,BD平行于拋物線在點(diǎn)C處的切線。
(Ⅰ)證明:AC平分
(Ⅱ)若點(diǎn)A坐標(biāo)為,四邊形ABCD的面積為4,求直線BD的方程。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為.點(diǎn)在軌跡上,且關(guān)于軸對(duì)稱,過線段(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線,使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn)、
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn),直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線垂直于點(diǎn),
線段垂直平分線交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅲ)設(shè)軸交于點(diǎn),不同的兩點(diǎn)上,且滿足,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,橢圓的左頂點(diǎn)為,是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(Ⅰ)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值;
(Ⅱ)若橢圓上存在點(diǎn),使得,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知定圓的圓心為,動(dòng)圓過點(diǎn),且和圓相切,動(dòng)圓的圓心的軌跡記為
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn),試探究直線:與曲線是否存在交點(diǎn)? 若存在,求出交點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M:右焦點(diǎn)的直線于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為.
(Ι)求M的方程;
(Ⅱ)C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB,求四邊形面積的最大值

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案