Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x-x²）（a＞0，a≠1）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，
（2）求函數(shù)f（x）的值域，
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由x-x²＞0求解．（2）先求0＜x-x²的范圍，然后按照0＜a＜1，a＞1兩種情況求解．
（3）按照0＜a＜1，a＞1兩種情況討論，先將原函數(shù)分解為兩個(gè)基本函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答：解：（1）由x-x²＞0得0＜x＜1，
所以函數(shù)y=log_a（x-x²）的定義域是（0，1）（2分）

（2）因?yàn)?＜x-x²=-(x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，
所以，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga(x-x2)≥loga

1

4

函數(shù)y=log_a（x-x²）的值域?yàn)?span id="n05k95g" class="MathJye">[loga

1

4

，+∞)；（5分）
當(dāng)a＞1時(shí)，loga(x-x2)≤loga

1

4

函數(shù)y=log_a（x-x²）的值域?yàn)?span id="hn94x6l" class="MathJye">(-∞，loga

1

4

]（8分）

（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=log_a（x-x²）
在(0，

1

2

]上是減函數(shù)，在[

1

2

，1)上是增函數(shù)；（10分）
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=log_a（x-x²）
在(0，

1

2

]上是增函數(shù)，在[

1

2

，1)上是減函數(shù)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了研究復(fù)合函數(shù)的基本思路，先分解為兩個(gè)基本函數(shù)，再求定義域，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解．