Question

（2011•鹽城二模）已知函數(shù)f（x）=a^x-x+b的零點(diǎn)x₀∈（k，k+1）（k∈Z），其中常數(shù)a，b滿足3a=2，3b=

9

4

，則k=

1

．

Answer 1

分析：由已知條件求出a、b的值，代入函數(shù)f（x）=a^x-x+b可得 函數(shù)f（x）=（log₃2）^x-x+2-2log₃2，且函數(shù)是R上的減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答：解：∵3a=2，3b=

9

4

，∴a=log₃2  b=log3

9

4

=2-2log₃2，
∴函數(shù)f（x）=（log₃2）^x-x+2-2log₃2，且函數(shù)是R上的減函數(shù)，
而f（1）=2-2log₃2＞0，f（2）=(log32)2-2log₃2＜0，
∴函數(shù)f（x）=（log₃2）^x-x+2-2log₃2在（1，2）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，
故k=1，
故答案為 1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理以及指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，函數(shù) f（x）=（log₂3）^x+x-log₃2是增函數(shù)，單調(diào)函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．