Question

14．在△ABC中，已知AB=AC，BC=2，點(diǎn)P在邊BC上，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$的最小值為-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，將$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵在△ABC中，已知AB=AC，
∴取BC中點(diǎn)O建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
∵BC=2，
∴B（-1，0），C（1，0）．
設(shè)A（0，b），P（x，0），（-1≤x≤1）．
∴$\overrightarrow{PA}$=（-x，b），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，0），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-x（1-x）=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥-$\frac{1}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，取最小值．
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$的最小值為-$\frac{1}{4}$．
故答案為：-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式建立一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．，解題時(shí)要注意變量x的取值范圍．