Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若，求函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）方程有3個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當時，若對于任意的，都存在，使得，求滿足條件的正整數(shù)的取值的集合.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)增區(qū)間為， 的單調(diào)減區(qū)間為

; （Ⅱ）當時，方程有三個不同的解，1， ; （Ⅲ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）在時， ，求出導數(shù)，由不等式得增區(qū)間，由不等式得減區(qū)間；

（Ⅱ）方程，即為，有一根為，然后有或，這可根據(jù)的正負分類討論確定；

（Ⅲ）當， 時， ，由導數(shù)得出函數(shù)在上是增函數(shù)，這樣可得當時， ，當時， ，此時，因此只要，由此求出的范圍，

而這還需用導數(shù)研究相應函數(shù)的單調(diào)性，才能得出結(jié)論．

試題解析：

（Ⅰ）當， 時， ，

從而 ，

，

的單調(diào)增區(qū)間為， 的單調(diào)減區(qū)間為

（Ⅱ）方程，即，即

所以當時，方程有兩個不同的解， ；

當時，方程有三個不同的解，1， ；

當時，方程有兩個不同的解，1.

綜上，當時，方程有三個不同的解，1，

（Ⅲ）當， 時， ， ，

所以函數(shù)在上是增函數(shù)，

且 .

所以當時， ，

當時，

所以，

因為對任意的，都存在，使得，

從而，

所以，即，即（）

因為為單調(diào)遞增，

且滿足，而，不滿足題意，所以時，均不滿足題意，

所以滿足條件的正整數(shù)的取值的集合為.