Question

16．已知橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）和（1，0），點(diǎn)P（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若線段AB是橢圓C的一條動(dòng)弦，且|AB|=2，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b的方程組，解方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）分動(dòng)弦AB垂直于x軸和動(dòng)弦AB與x軸不垂直討論，當(dāng)動(dòng)弦AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)出AB所在直線方程y=kx+b，與橢圓方程聯(lián)立，由弦長得到k與b的關(guān)系，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式得到原點(diǎn)O到直線AB的距離為h關(guān)于b的函數(shù)，利用配方法求得最值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，…（1分）
由題可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$，…（2分）
解得a²=2，b²=1．…（3分）
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（2）①若動(dòng)弦AB垂直于x軸，此時(shí)AB為橢圓的短軸，原點(diǎn)到直線AB的距離為0．…（5分）
②若動(dòng)弦AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，
原點(diǎn)O到直線AB的距離為h，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
∵直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，∴△=16k²b²-8（1+2k²）（b²-1）＞0，
即b²＜2k²+1（※）．…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2（^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，…（8分）
∵|AB|=2，∴$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=2$，
∴$（1+{k}^{2}）•[（-\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8（^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}]=4$，整理得$\frac{1}{1+{k}^{2}}=2（1-^{2}）$，…（9分）
∵1+k²≥1，∴0＜$\frac{1}{1+{k}^{2}}≤1$，即0＜2（1-b²）≤1，即$\frac{1}{2}≤^{2}＜1$滿足※式．
∴$\frac{1}{2}≤^{2}＜1$．…（10分）
${h}^{2}=\frac{^{2}}{1+{k}^{2}}=2^{2}（1-^{2}）=-2^{4}+2^{2}$=$-2（^{2}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)$^{2}=\frac{1}{2}$時(shí)，h²取得最大值，且最大值為$\frac{1}{2}$，即h的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故坐標(biāo)原點(diǎn)到動(dòng)弦AB的最大距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，訓(xùn)練了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．