【題目】如圖,在以A,B,C,D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°.
(Ⅰ)證明平面ABEF⊥平面EFDC;
(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)證明:∵ABEF為正方形,∴AF⊥EF.
∵∠AFD=90°,∴AF⊥DF,
∵DF∩EF=F,
∴AF⊥平面EFDC,
∵AF平面ABEF,
∴平面ABEF⊥平面EFDC;
(Ⅱ)解:由AF⊥DF,AF⊥EF,
可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角;
由ABEF為正方形,AF⊥平面EFDC,
∵BE⊥EF,
∴BE⊥平面EFDC
即有CE⊥BE,
可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角.
可得∠DFE=∠CEF=60°.
∵AB∥EF,AB平面EFDC,EF平面EFDC,
∴AB∥平面EFDC,
∵平面EFDC∩平面ABCD=CD,AB平面ABCD,
∴AB∥CD,
∴CD∥EF,
∴四邊形EFDC為等腰梯形.
以E為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)FD=a,
則E(0,0,0),B(0,2a,0),C( ,0, a),A(2a,2a,0),
∴ =(0,2a,0), =( ,﹣2a, a), =(﹣2a,0,0)
設(shè)平面BEC的法向量為 =(x1,y1,z1),則 ,
則 ,取 =( ,0,﹣1).
設(shè)平面ABC的法向量為 =(x2,y2,z2),則 ,
則 ,取 =(0, ,4).
設(shè)二面角E﹣BC﹣A的大小為θ,則cosθ=
= =﹣ ,
則二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣ .
【解析】(Ⅰ)證明AF⊥平面EFDC,利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)證明四邊形EFDC為等腰梯形,以E為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,求出平面BEC、平面ABC的法向量,代入向量夾角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)T為直線上任意一點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓C于點(diǎn)P,Q,且為拋物線,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(1﹣m)lnx+ ﹣x,m∈R且m≠0.
(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí),令g(x)=f(x)+log2(3k﹣1),k為常數(shù),求函數(shù)y=g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若不等式f(x)>1﹣ 在x∈[1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( )
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: ,圓: 的圓心在橢圓上,點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線,且交橢圓于兩點(diǎn),直線交圓于, 兩點(diǎn),且為的中點(diǎn),求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《數(shù)學(xué)九章》中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白,與著名的海倫公式完全等價(jià),由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平,其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí).一為從隔,開(kāi)平方得積.”若把以上這段文字寫(xiě)成公式,即S= .現(xiàn)有周長(zhǎng)為4+ 的△ABC滿足sinA:sinB:sinC=( ﹣1): : ( +1),試用以上給出的公式求得△ABC的面積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高中組織數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽,采取答題闖關(guān)的形式,分兩種題型,每種題型設(shè)兩關(guān).“數(shù)學(xué)文化”題答對(duì)一道得5分,“數(shù)學(xué)應(yīng)用”題答對(duì)一道得10分,答對(duì)一道題即可進(jìn)入下一關(guān),否則終止比賽.有甲、乙、丙三人前來(lái)參賽,設(shè)三人答對(duì)每道題的概率分別是 、 、 ,三人答題互不影響.甲、乙選擇“數(shù)學(xué)文化”題,丙選擇“數(shù)學(xué)應(yīng)用”題.
(Ⅰ)求乙、丙兩人所得分?jǐn)?shù)相等的概率;
(Ⅱ)設(shè)甲、丙兩人所得分?jǐn)?shù)之和為隨機(jī)變量X,求X的分布列與期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為研究男女同學(xué)空間想象能力的差異,孫老師從高一年級(jí)隨機(jī)選取了20名男生、20名女生,進(jìn)行空間圖形識(shí)別測(cè)試,得到成績(jī)莖葉圖如下,假定成績(jī)大于等于80分的同學(xué)為“空間想象能力突出”,低于80分的同學(xué)為“空間想象能力正常”.
(1)完成下面2×2列聯(lián)表,
空間想象能力突出 | 空間想象能力正常 | 合計(jì) | |
男生 |
|
| |
女生 |
| ||
合計(jì) |
|
(2)判斷是否有90%的把握認(rèn)為“空間想象能力突出”與性別有關(guān);
(3)從“空間想象能力突出”的同學(xué)中隨機(jī)選取男生2名、女生2名,記其中成績(jī)超過(guò)90分的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 下面公式及臨界值表僅供參考:
P(X2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓 的左焦點(diǎn)為F,離心率為 ,過(guò)點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為 .
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A,B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)P(﹣2,0)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)M,N.
(i)求證:∠AFM=∠BFN;
(ii)求△MNF面積的最大值.
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