分析 由z=x+yi(x,y∈R)滿足|z|≤1,畫出圖形,數(shù)形結合得|z-2i|的取值范圍;
由x2+y2≤1,可得2x+y-4<0,6-x-3y>0,去絕對值后得到目標函數(shù)z=-3x-4y+10,然后結合圓心到直線的距離求得|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值.
解答 解:∵z=x+yi(x,y∈R)滿足|z|≤1,
∴在復平面內z的軌跡是以原點為圓心,以1為半徑的圓及其內部,
如圖,
∴|z-2i|的取值范圍是[1,3];
由x2+y2≤1,
可得2x+y-4<0,6-x-3y>0,
則|2x+y-4|+|6-x-3y|=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10,
令z=-3x-4y+10,得y=-$\frac{3}{4}x$-$\frac{z}{4}+\frac{5}{2}$,
如圖,
要使z=-3x-4y+10最大,則直線y=-$\frac{3}{4}x$-$\frac{z}{4}+\frac{5}{2}$在y軸上的截距最小,
由z=-3x-4y+10,得3x+4y+z-10=0.
則$\frac{|z-10|}{5}=1$,即z=15或z=5.
由題意可得z的最大值為15.
故答案為:[1,3];15.
點評 本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復數(shù)模的求法,考查了簡單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結合的解題思想方法及數(shù)學轉化思想方法,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{3\sqrt{2}}{4π}$ | B. | $\frac{4π-3\sqrt{2}}{4π}$ | C. | $\frac{1}{2π}$ | D. | $\frac{2π-1}{2π}$ |
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A. | m<-1 | B. | 0<m<1 | C. | m>1 | D. | m≥1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-1,1) | B. | (0,1) | C. | (-1,0)∪(0,1) | D. | (-∞,-1)∪(1,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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