已知點A(1,
2
)
是離心率為
2
2
的橢圓C:
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)
上的一點.斜率為
2
的直線BD交橢圓C于B、D兩點,且A、B、D三點不重合.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)△ABD的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由?
分析:(Ⅰ)根據(jù)點A(1,
2
)
是離心率為
2
2
的橢圓C上的一點,建立方程,即可求橢圓C的方程;
(Ⅱ)直線方程代入橢圓方程,計算出三角形的面積,利用基本不等式,可得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)∵e=
2
2
=
c
a
,
1
b2
+
2
a2
=1
,a2=b2+c2
∴a=2,b=
2
,c=
2

∴橢圓方程為
x2
2
+
y2
4
=1
.…(5分)
(Ⅱ)設(shè)直線BD的方程為y=
2
x+b

y=
2
x+b
2x2+y2=4
,消去y可得4x2+2
2
bx+b2-4=0

x1+x2=-
2
2
b
,x1x2=
b2-4
4
,
由△=-8b2+64>0,可得-2
2
<b<2
2

|BD|=
1+(
2
)
2
|x1-x2|=
3
4
=
3
64-8b2
4
=
6
2
8-b2
,
設(shè)d為點A到直線BD:y=
2
x+b
的距離,∴d=
|b|
3

S△ABD=
1
2
|BD|d=
2
4
(8-b2)b2
2
,
當(dāng)且僅當(dāng)b=±2∈(-2
2
,2
2
)
時,△ABD的面積最大,最大值為
2
.…(12分)
點評:本小題主要考查橢圓的方程的求法,考查弦長公式的應(yīng)用和利用均值不等式求最值的方法,考查思維能力、運(yùn)算能力和綜合解題的能力.
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b2
+
y2
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=1(a>b>0)
上的一點.斜率為
2
的直線BD交橢圓C于B、D兩點,且A、B、D三點不重合.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
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Sn
+
Sn-1
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1
bnbn+1
}
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1000
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