Question

2．已知空間四面體ABCD中，AC=AD=BC=BD=2，且四面體ABCD的外接球的表面積為7π，如果AB=CD=a，則a=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以a，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，由此能求出球的半徑，進而利用四面體ABCD的外接球的表面積為7π，求出a．

解答 解：由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，
所以可在其每個面補上一個以a，2，2為三邊的三角形作為底面，
且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，
從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，
并且x²+y²=a²，x²+z²=4，y²+z²=4，
設球半徑為R，則有（2R）²=x²+y²+z²=$\frac{1}{2}$a²+4，
∵四面體ABCD的外接球的表面積為7π，
∴球的表面積為S=4πR²=7π．
∴4R²=7，
∴$\frac{1}{2}$a²+4=7，∴a=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，割補法的應用，判斷外接球的直徑是長方體的對角線的長是解題的關鍵之一．