Question

15．已知函數f（x）的圖象在點（x₀，f（x₀））處的切線方程l：y=g（x），若函數f（x）滿足?x∈l（其中I為函數f（x）的定義域），當x≠x₀時，[f（x）-g（x）]（x-x₀）＞0恒成立，則稱x₀為函數f（x）的“轉折點”，若函數f（x）=lnx-ax²-x在（0，e]上存在一個“轉折點”，則a的取值范圍為（　�。�

• A． $[{\frac{1}{{2{e^2}}}，+∞}）$
• B． $（{-1，\frac{1}{{2{e^2}}}}]$
• C． $[{-\frac{1}{{2{e^2}}}，1}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{{2{e^2}}}}]$

Answer 1

分析 根據已知函數，求出切線方程，構造h（x）=f（x）-g（x），求導，根據導數判斷單調性，找到其轉折點，并討論a的取值范圍．

解答 解：設f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax-1，則在該切點的切線的斜率k_切=f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}-2a{x}_{0}-1$
所以切線方程為y=g（x）=（$\frac{1}{{x}_{0}}-2a{x}_{0}-1$）（x-x₀）+lnx₀-a${x}_{0}^{2}$-x₀
記$h（x）=f（x）-g（x）=lnx-a{x^2}-x-（\frac{1}{x_0}-2a{x_0}-1）（x-{x_0}）-ln{x_0}+ax_0^2+{x_0}$
顯然h（x₀）=0；$h'（x）=\frac{1}{x}-2ax-1-（\frac{1}{x_0}-2a{x_0}-1）=-\frac{2a}{x}（x-{x_0}）（x+\frac{1}{{2a{x_0}}}）$
當a＞0時，h（x）在（0，x₀）上單調遞增，在（x₀，+∞）上單調遞減，所以h（x）＜h（x₀）=0
因此，當x∈（0，x₀）時[f（x）-g（x）]（x-x₀）＞0；當當x∈（x₀，+∞）時[f（x）-g（x）]（x-x₀）＜0
所以當a＞0時函數f（x）在（0，+∞）上不存在“轉折點”．排除選項A、B、C，故選D．
（本題也可以利用二階導函數為0，求解：$f''（x）=-\frac{1}{x^2}-2a=0$，顯然只有當a＜0時有解，其解就為“轉折點”橫坐標，
故$x=\sqrt{\frac{1}{-2a}}$，由題意$x=\sqrt{\frac{1}{-2a}}∈（0，e]$，所以$\sqrt{\frac{1}{-2a}}≤e$，故$a≤-\frac{1}{{2{e^2}}}$．
故選：D

點評 本題主要根據導數求函數的切線方程和函數單調性，判斷函數的轉折點，屬于中檔題．