已知函數(shù)的定義域為,且的圖象連續(xù)不間斷. 若函數(shù)滿足:對于給定的(且),存在,使得,則稱具有性質(zhì).
(Ⅰ)已知函數(shù),,判斷是否具有性質(zhì),并說明理由;
(Ⅱ)已知函數(shù) 若具有性質(zhì),求的最大值;
(Ⅲ)若函數(shù)的定義域為,且的圖象連續(xù)不間斷,又滿足,
求證:對任意且,函數(shù)具有性質(zhì).
(Ⅰ)具有該性質(zhì),證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)創(chuàng)新定義問題,首先要讀懂具有性質(zhì)P(m)的意思, 對于給定的(且),
存在,使得,按照此定義進行判斷,假設(shè)具有該性質(zhì), 設(shè),令
,解得,滿足定義,故具有性質(zhì)P(3);(Ⅱ)m在0到1之間,取一半,看是
否具有性質(zhì)P(),如果有,再判斷是否有大于的m,沒有的話,最大值就是;(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù)
,則,……=
-,相加,有,分里面有零和沒零進行討論,得到結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)設(shè),即
令, 則
解得,
所以函數(shù)具有性質(zhì)
(Ⅱ)m的最大值為.
首先當(dāng)時,取,
則,,
所以函數(shù)具有性質(zhì),
假設(shè)存在,使得函數(shù)具有性質(zhì),
則,
當(dāng)時,,,,
當(dāng)時,,,,
所以不存在,使得,
故的最大值為.
(Ⅲ)任取,
設(shè),其中,
則有
,
,
……
,
……
,
以上各式相加得:,
當(dāng)中有一個為時,不妨設(shè)為,
即,
則函數(shù)具有性質(zhì),
當(dāng)均不為時,由于其和為,則必然存在正數(shù)和負數(shù),
不妨設(shè) 其中,,
由于是連續(xù)的,所以當(dāng)時,至少存在一個,
(當(dāng)時,至少存在一個),
使得,
即,
故函數(shù)具有性質(zhì).
考點:1.抽象函數(shù)的定義;2.創(chuàng)新問題情境;3.構(gòu)造函數(shù).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
π | 2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年浙江省杭州市七校高三上學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的定義域為,
(1)求;
(2)若,且是的真子集,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆遼寧朝陽高二下學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)的定義域為,部分對應(yīng)值如下表。的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示。
0 |
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下列關(guān)于函數(shù)的命題:
①函數(shù)在上是減函數(shù);②如果當(dāng)時,最大值是,那么的最大值為;③函數(shù)有個零點,則;④已知是的一個單調(diào)遞減區(qū)間,則的最大值為。
其中真命題的個數(shù)是( )
A、4個 B、3個 C、2個 D、1個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年海南省?谑懈呷呖颊{(diào)研考試理科數(shù)學(xué) 題型:選擇題
已知函數(shù)的定義域為,且,為的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)的圖象如圖所示.若正數(shù),滿足,則的取值范圍是
A. B. C. D.
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