Question

已知函數(shù)f（x）=ax 3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（1）若a=1，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求出函數(shù)的解析式及導(dǎo)函數(shù)的解析式，代入x=2，可得切點(diǎn)坐標(biāo)和切線(xiàn)的斜率（導(dǎo)函數(shù)值），進(jìn)而可得直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程．
（2）解方程f′（x）=0，由a＞0可得x=

1

a

，討論f′（x）在各區(qū)間上的符號(hào)，進(jìn)而由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系得到答案．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x 3-

3

2

x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=3x²-3x，
∴f（2）=3，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）
f′（2）=6，即切線(xiàn)的方程為6
故曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為y-3=6（x-2），即6x-y-9=0
（2）∵f（x）=ax 3-

3

2

x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），
令f′（x）=0，則x=0，或x=

1

a

∵a＞0，即

1

a

＞0，
∵當(dāng)x∈（-∞，0）∪（

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，

1

a

）時(shí)，f′（x）＜0；
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（

1

a

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

a

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．