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已知點H(0，―3)，點P在x軸上，點Q在y軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，．

(1)當點P在x軸上移動時，求動點M的軌跡曲線C的方程；

(2)過定點A(a，b)的直線與曲線C相交于兩點S、R，求證：拋物線S、R兩點處的切線的交點B恒在一條直線上．

答案：
解析：

答案：；

(1)解：設P(a，0)，Q(0，b)

則：　∴

設M(x，y)∵

∴　

∴

(2)解法一：設A(a，b)，，(x1≠x2)

則：直線SR的方程為：，即4y =(x1+x2)x－x1x2

∵A點在SR上，∴4b=(x1+x2)a－x1x2�、�

對求導得：y′=x

∴拋物線上S、R處的切線方程為：

即4　�、�

即4�、�

聯(lián)立②③，并解之得 ，代入①得：ax－2y－2b=0

故：B點在直線ax－2y－2b=0上

解法二：設A(a，b)

當過點A的直線斜率不存在時l與拋物線有且僅有一個公共點，與題意不符，可設直線SR的方程為y－b=k(x－a)

與聯(lián)立消去y得：x2－4kx+4ak－4b=0

設，(x1≠x2)

則由韋達定理：

又過S、R點的切線方程分別為：，

聯(lián)立，并解之得 (k為參數)

消去k，得：ax－2y－2b=0

故：B點在直線2ax－y－b=0上


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過點（1，0）作直線L交軌跡C于A、B兩點，已知
AF
=2
FB
，求直線L的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
①當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
②過點R（2，1）作直線l與軌跡C交于A，B兩點，使得R恰好為弦AB的中點，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•和平區(qū)三模）已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且
HP
•
PM
=0，又
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）（k＞2）與軌跡C交于A、B兩點，AB中點N到直線3x+4y+m=0（m＞-3）的距離為
1
5
，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（09年萊西一中模擬理）（14分）已知點H（－3，0），點P在軸上，點Q在軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足， .

（Ⅰ）當點P在軸上移動時，求點M的軌跡C；

（Ⅱ）過定點作直線交軌跡C于A、B兩點，E是D點關于坐標原點O的對稱點，求證：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出的方程；若不存在，請說明理由.

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