Question

如圖，橢圓C：的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)，求m的值；

（2）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得，求m的取值范圍.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)m的取值范圍可以判斷橢圓C的焦點(diǎn)，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，則根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以用點(diǎn)P,A的坐標(biāo)計(jì)算得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，把M點(diǎn)的坐標(biāo)帶入橢圓即可求的m的值.

（2）從題得A,P關(guān)于M對(duì)稱，則可以設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，得到P點(diǎn)的坐標(biāo)(中點(diǎn)的坐標(biāo)公式)，因?yàn)镺M與OP垂直，則根據(jù)向量的內(nèi)積為0可以得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則把該方程與M點(diǎn)滿足的橢圓方程聯(lián)立消縱坐標(biāo)即可求出m關(guān)于M點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，再利用基本不等式就可以求出m的取值范圍(注意取得等號(hào)條件的驗(yàn)證與m值本身具有正數(shù)的范圍)

試題解析：

（1）依題意，是線段的中點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719052122902144/SYS201411171905329795666744_DA/SYS201411171905329795666744_DA.005.png">，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為． 2分

由點(diǎn)在橢圓上，所以，解得． 4分

（2）設(shè)，則，且．① 5分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719052122902144/SYS201411171905329795666744_DA/SYS201411171905329795666744_DA.003.png">是線段的中點(diǎn)，所以． 7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719052122902144/SYS201411171905329795666744_DA/SYS201411171905329795666744_DA.014.png">，所以．② 9分

由①，②消去，整理得． 11分

所以， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立．

所以的取值范圍是． 14分

考點(diǎn)：橢圓幾何性質(zhì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程不等式