Question

14．如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC為等邊三角形，AE=1，BD=2，CD與平面ABCDE所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
（1）若F是線段CD的中點(diǎn)，證明：EF⊥平面DBC；
（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．
（2）建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：取BC的中點(diǎn)為M，連接FM，則可證AM⊥平面BCD，四邊形AEFM為平行四邊形，
所以EF∥AM，所以EF⊥平面DBC；…（6分）
（2）解：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OD，則OC⊥平面ABD，∠CDO即是CD與平面ABDE所成角，$\frac{OC}{CD}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，
設(shè)AB=x，則有$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}x}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，得AB=2，取DE的中點(diǎn)為G，
以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OG為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則$C（\sqrt{3}，0，0），B（0，1，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），F(xiàn)（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，1）$，
由（1）知：BF⊥平面DEC，又取平面DEC的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），
設(shè)平面BCE的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（1，y，z），由，由此得平面BCE的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+4}•\sqrt{1+3+12}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{2}•4}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
所以二面角D-EC-B的平面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查線面垂直判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．