Question

袋中裝有13個(gè)紅球和n個(gè)白球，這些紅球和白球除了顏色不同之外，其余都相同，若從袋中同時(shí)取兩個(gè)球，取出的是2個(gè)紅球的概率等于取出的是一紅一白兩個(gè)球的概率的3倍．
（1）試求n的值；
（2）某公司的某部門有21位職員，公司將進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定：每個(gè)職員都從袋中同時(shí)取兩個(gè)球，然后放回袋中，搖勻再給別人抽獎(jiǎng)，若某人取出的兩個(gè)球是一紅一白時(shí)，則中獎(jiǎng)（獎(jiǎng)金1000元）；否則，不中獎(jiǎng)（也發(fā)鼓勵(lì)獎(jiǎng)金100元）．試求此公司在這次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中所發(fā)獎(jiǎng)金總額的期望值．

Answer 1

分析：（1）記“取出兩個(gè)紅球”和“取出一紅一白兩球”分別為事件A和B，根據(jù)題意，得：P(A)=

C 2 13

C 2 13+n

，P（B）=

C 1 13 C 1 n

C 2 13+n

，由P（A）=3P（B），能求出n．
（2）設(shè)中獎(jiǎng)人數(shù)為η，不中獎(jiǎng)人數(shù)為21-η，獎(jiǎng)金為ξ，則ξ=900η+2100，η～B（21，

26

105

），由此能求出此公司在這次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中所發(fā)獎(jiǎng)金總額的期望值．

解答：解：（1）記“取出兩個(gè)紅球”和“取出一紅一白兩球”分別為事件A和B，
根據(jù)題意，得：
P(A)=

C 2 13

C 2 13+n

，P（B）=

C 1 13 C 1 n

C 2 13+n

，
令P（A）=3P（B），k∈N^*
即

C 2 13

C 2 13+n

=3•

C 1 13 C 1 n

C 2 13+n

，
解得n=2．
（2）設(shè)中獎(jiǎng)人數(shù)為η，不中獎(jiǎng)人數(shù)為21-η，獎(jiǎng)金為ξ，
則ξ=1000η+100（21-η），
即ξ=900η+2100，
每人中獎(jiǎng)的概率為P（B）=

C 1 13 C 1 2

C 2 13+2

=

26

105

，
∴η～B（21，

26

105

）
∴Eη=21×

26

105

=

26

5

，
Eξ=900×

26

5

+2100=6780．
故此公司在這次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中所發(fā)獎(jiǎng)金總額的期望值為6780元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的求法和應(yīng)用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．