Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2-m）+f（-m）+2m-2≥0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [-1，1]
• B． [1，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 利用構(gòu)造法g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，推出g（x）為奇函數(shù)，判斷g（x）的單調(diào)性，然后推出不等式得到結(jié)果

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-x²+f（-x）=0，
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
則g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上也是減函數(shù)，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是減函數(shù)．
f（2-m）+f（-m）+2m-2≥0等價(jià)于f（2-m）-$\frac{1}{2}$（2-m）²≥f（m）-$\frac{1}{2}$ m²，
即g（2-m）≤g（m），
∴2-m≤m，解得m≥1
故選：B

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是全稱命題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．