Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為15、公差為整數(shù)的等差數(shù)列，前n項(xiàng)的和是S_n，S₁₁≥0，S₁₂＜0，S_n的最大值是S，函數(shù)y=f（x）滿足f（1+x）=f（5-x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，且y=f（x） 的所有零點(diǎn)和恰好為S，則y=f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

15個(gè)

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，求出數(shù)列的公差d，進(jìn)而求出數(shù)列的前n項(xiàng)的是S_n的最大值是S，由函數(shù)y=f（x）滿足f（1+x）=f（5-x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，分析也函數(shù)圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，即函數(shù)y=f（x）所有零點(diǎn)的平均數(shù)為3，進(jìn)而求出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則d∈Z
∵S₁₁=11•a₆≥0，
∴a₆=a₁+5d=15+5d≥0，
解得d≥-3…①
又∵S₁₂=

a1+a12

2

•12=

a6+a7

2

•12=180+66d＜0，
解得d＜-

30

11

…②
由①②得d=-3
則S_n=-

3

2

n²+

33

2

n
則當(dāng)n=5或n=6時(shí)，S_n的最大值是S=45
∵函數(shù)y=f（x）滿足f（1+x）=f（5-x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱
即函數(shù)y=f（x）所有零點(diǎn)的平均數(shù)為3
又∵y=f（x） 的所有零點(diǎn)和恰好為S=45
∴y=f（x）的零點(diǎn)共有

45

3

=15個(gè)
故答案為：15

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性，等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．