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17.已知函數(shù)f(x)=xex+x2-x(其中e=2.71828…).
(Ⅰ)求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=ln[f(x)-x2+x]-b的兩個零點為x1,x2,證明:12[g′(x1)+g′(x2)]>g′(x1+x22).

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),求得而且像的斜率和切點,運用點斜式方程可得切線的方程;
(Ⅱ)求出g(x)的解析式,求出導數(shù),可得單調(diào)區(qū)間和極值、最值,可得零點的范圍,原不等式可化為121x1-1+1x2-1)>2x1+x2-1,化簡整理,再由基本不等式即可得證.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=xex+x2-x的導數(shù)為f′(x)=1xex+2x-1,
f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為k=f′(1)=1,切點為(1,1e),
可得f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y-1e=x-1,
即為y=x-1+1e;
(Ⅱ)證明:函數(shù)g(x)=ln[f(x)-x2+x]-b=lnxex-b=lnx-x-b,
g′(x)=1x-1=1xx,當x>1時,g′(x)<0,g(x)遞減;
當0<x<1時,g′(x)>0,g(x)遞增.
可得g(x)在x=1處取得極大值,且為最大值-1-b,
設0<x1<1,x2>1,則12[g′(x1)+g′(x2)]>g′(x1+x22),
即為121x1-1+1x2-1)>2x1+x2-1,
1x1+1x24x1+x2,即有(x1+x2)(1x1+1x2)>4,
由x1+x2>2x1x2,1x1+1x2>21x1x2,
可得(x1+x2)(1x1+1x2)>4,
故原不等式成立.

點評 本題考查導數(shù)的運用:求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,考查不等式的證明,注意運用分析法,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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