Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＝2a_n＋1，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn+1＝2an+1＋1． 　　∴Sn+1－Sn＝(2an+1＋1)－(2an＋1)＝2an+1－2an． 　　∴an+1＝2an　�、� 　　又∵S1＝a1＝2a1＋1，∴a1＝－1≠0． 　　由①知，an≠0， 　　∴由＝2知，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，an＝－2n－1． 　　思路解析：要證數(shù)列是等比數(shù)列，關(guān)鍵是看an與an－1之比是否為一常數(shù)，由題設(shè)還需利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得an．

提示：

(1)本題證明，關(guān)鍵是用等比數(shù)列的定義，其中說明an≠0是非常重要的．證明中，也可以寫出Sn－1＝2an－1＋1，從而得到an＝2an－1，只能得到n≥2時(shí)，{an}是等比數(shù)列，得到n≥2時(shí)，an＝－2n－1，再將n＝1時(shí)，a1＝－1代入驗(yàn)證． 　　(2)證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，常用方法是：①要證明一個(gè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，只要證明對于任意自然數(shù)n，都等于同一個(gè)常數(shù)即可．②對于一個(gè)數(shù)列，除了首項(xiàng)和末項(xiàng)(有窮數(shù)列)外，任何一項(xiàng)都是它的前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)，則此數(shù)列是等比數(shù)列．