Question

將函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，求證：，（n=1，2，3，…）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
=
∴f（x）的極值點(diǎn)為，
從而它在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大排列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴，（n=1，2，3，…）
（Ⅱ）由知對(duì)任意正整數(shù)n，
a_n都不是π的整數(shù)倍，
所以sina_n≠0，
從而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0
于是
又，
{b_n}是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列．
∴，（n=1，2，3，…）
分析：（Ⅰ）由=-，知f（x）的極值點(diǎn)為，從而它在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大排列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由知對(duì)任意正整數(shù)n，a_n都不是π的整數(shù)倍，知sina_n≠0，從而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0．于是，由此能夠證明，（n=1，2，3，…）．
點(diǎn)評(píng)：第（Ⅰ）題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，合理運(yùn)用三角函數(shù)的極值點(diǎn)進(jìn)行解題．
第（Ⅱ）求證：，（n=1，2，3，…）．解題時(shí)要認(rèn)真審題，利用三角函數(shù)的性質(zhì)證明{b_n}是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列．