Question

設(shè)橢圓C₁：

x2

5

+y²=1的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)．
（Ⅰ）求線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C₁相交于點(diǎn)A、D，與曲線C₂順次相交于點(diǎn)B、C，當(dāng)|AB|=|FC|-|FB|時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用代入法，可求線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：x=my+2，代入橢圓方程，求出A，C的縱坐標(biāo)，由題設(shè)|AB|=|FC|-|FB|，可得|AF|=|FC|，有|y_A|=|y_C|，即可求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），F(xiàn)（2，0），故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2x-2，2y），
代入橢圓方程得：

(2x-2)2

5

+(2y)2=1，
即線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為：

4(x-1)2

5

+4y2=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：x=my+2，
解方程組

x=my+2 x2 5 +y2=1

⇒(m2+5)y2+4my-1=0，△1=16m2+4(m2+5)=20m2+20，
當(dāng)m＞0時(shí)，則yA=

-4m+2 5 m2+1

2(m2+5)

，
解方程組

x=my+2 4(x-1)2 5 +4y2=1

⇒4(m2+5)y2+8my-1=0，
△2=64m2+4(4m2+20)=80m2+80，|yc|=

8m+4 5 m2+1

2(4m2+20)

，
由題設(shè)|AB|=|FC|-|FB|，可得|AF|=|FC|，有|y_A|=|y_C|，
所以

-4m+2 5 m2+1

2(m2+5)

=

8m+4 5 m2+1

2(4m2+20)

，即6m=

5

m2+1

（m＞0），
由此解得：m=

5 31

，
故符合題設(shè)條件的其中一條直線的斜率k=

1

m

=

155

5

；
當(dāng)m＜0時(shí)，同理可求得另一條直線方程的斜率k=-

155

5

，
故所求直線l的方程是y=±

155

5

(x-2)．

點(diǎn)評：本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．