Question

（2013•廣州一模）已知a＞0，a≠1，函數(shù)f(x)=

ax(x≤1) -x+a(x＞1)

若函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大

5

2

，則a的值為

1

2

或

7

2

．

Answer 1

分析：分0＜a＜1和a＞1時兩種情況加以討論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一次函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合分段函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的大小比較，求出函數(shù)在[0，2]上的最大值和最小值，由此根據(jù)題意建立關(guān)于a的方程，解之即得滿足條件的實數(shù)a的值．

解答：解：①當0＜a＜1時，可得
在[0，1]上，f（x）=a^x是減函數(shù)；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是減函數(shù)
∵f（0）=a⁰=1＞-1+a，∴函數(shù)的最大值為f（0）=1；
而f（2）=-2+a＜-1+a=f（1），所以函數(shù)的最小值為f（2）=-2+a
因此，-2+a+

5

2

=1，解之得a=

1

2

∈（0，1）符合題意；
②當a＞1時，可得
在[0，1]上，f（x）=a^x是增函數(shù)；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是減函數(shù)
∵f（1）=a＞-1+a，∴函數(shù)的最大值為f（1）=a
而f（2）=-2+a，f（0）=a⁰=1，可得
i）當a∈（1，3]時，-2+a＜1，得f（2）=-2+a為函數(shù)的最小值，
因此，-2+a+

5

2

=a矛盾，找不出a的值．
ii）當a∈（3，+∞）時，-2+a＞1，得f（0）=1為函數(shù)的最小值，
因此，1+

5

2

=a，解之得a=

7

2

∈（3，+∞），符合題意．
綜上所述，實數(shù)a的值為

1

2

或

7

2

故答案為：

1

2

或

7

2

點評：本題給出含有字母a的分段函數(shù)，在已知函數(shù)的最大最小值之差的情況下求參數(shù)a的值，著重考查了指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性和分段函數(shù)的理解等知識，考查了轉(zhuǎn)化化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．