設(shè)△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且acosB-bcosA=
3
5
c，
（1）求
tanA
tanB
的值；
（2）當(dāng)tan（A-B）取最大值時(shí)，判斷△ABC的形狀．
考點(diǎn)：三角形的形狀判斷
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系變形，即可確定出所求式子的值；
（2）利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tan（A-B），把tanA=4tanB代入利用基本不等式求出tan（A-B）取得最大值時(shí)tanB的值，進(jìn)而求出tanA的值，確定出C為直角，即可得出三角形為直角三角形．
解答： 解：（1）已知等式acosB-bcosA=
3
5
c，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinAcosB-sinBcosA=
3
5
sinC，
整理得：5sinAcosB-5cosAsinB=3sinC=3sin（A+B）=3sinAcosB+3cosAsinB，即2sinAcosB=8cosAsinB，
整理得：
tanA
tanB
=4；
（2）由（1）得：tanA=4tanB，
∵A，B都為銳角，∴tanB＞0，
∴tan（A-B）=
tanA-tanB
1+tanAtanB
=
3tanB
1+4tan2B
=
3
1
tanB
+4tanB
≤
3
2
4
=
3
4
，
當(dāng)且僅當(dāng)
1
tanB
=4tanB，即tanB=
1
2
時(shí)取等號(hào)，此時(shí)tanA=4tanB=2，
此時(shí)tanAtanB=1，即
sinAsinB
cosAcosB
=1，
整理得：cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=0，即A+B=
π
2
，C=
π
2
，
則△ABC為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間基本關(guān)系，以及兩角和與差的正切函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，∠C=90°，當(dāng)n∈N*，且n≥2時(shí)，an+bn與cn的大小關(guān)系為（　�。�
A、an+bn＞cn
B、an+bn＜cn
C、an+bn≥cn
D、an+bn≤cn

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求下列各式中的x：
（1）lg（10x）+1=3lgx；
（2）3lnx-3=ln2x；
（3）lg
x
10
=-2-2lgx；
（4）log
x
(2x)=
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=
x-2
x+1
，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈[
1
2
，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、（-∞，-3）∪（0，+∞）
B、（-1，0）
C、（0，1）
D、（-∞，1）∪（2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

己知A={x|x＞-1}，那么正確的是（　�。�
A、0⊆AB、{0}⊆A
C、A={0}D、∅∈A

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=x2-4x+6，x∈[1，5]的值域是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

△ABC的內(nèi)角，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知向量
a
=（a，b），向量
b
=（cosA，3cosB）且
a
∥
b

（1）求證：tanB=3tan A；
（2）若tanC=2，求A的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=-3，an=2an-1+2n+3（n≥2．且n∈N*）
（1）求a2，a3的值；
（2）設(shè)bn=
an+3
2n
(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

不等式
2x-1
x+3
≥1的解集是
 
．

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