Question

已知直線C₁的方程為

x=8+tcosα y=16+tsinα

（t為參數(shù)，α∈[0，π）且α為常數(shù)），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+8sinθ，當(dāng)曲線C₁被曲線C₂截得的線段長(zhǎng)為

2

且0＜α＜

π

3

時(shí)，求常數(shù)α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：由曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+8sinθ，化為ρ²=6ρcosθ+8ρsinθ，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

可得x²+y²=6x+8y，可得圓心C₂，半徑r．由直線C₁的方程為

x=8+tcosα y=16+tsinα

消去參數(shù)t可得xtanα-y+16-8tanα=0．利用點(diǎn)到直線的距離公式及其d2+(

2

2

)2=r2即可得出．

解答： 解：由曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+8sinθ，化為ρ²=6ρcosθ+8ρsinθ，
∴x²+y²=6x+8y，∴（x-3）²+（y-4）²=25，可得圓心C₂（3，4），半徑r=5．
由直線C₁的方程為

x=8+tcosα y=16+tsinα

消去參數(shù)t可得xtanα-y+16-8tanα=0．
∴圓心C₂（3，4）到直線C₁的距離d=

|3tanα-4+16-8tanα|

tan2α+1

=

|12-5tanα|

tan2α+1

，
∵d2+(

2

2

)2=r2，
∴(

|12-5tanα|

tan2α+1

)2=

49

2

，
化為tan²α-240tanα+239=0，
解得tanα=1或tanα=239．
∵α∈[0，π）且0＜α＜

π

3

時(shí)，
∴α=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程分別化為直角方程及普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．