Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M為CC₁的中點
（1）求異面直線A₁M與C₁D₁所成的角的正切值；
（2）求證：平面ABM⊥平面A₁B₁M；
（3）求三棱錐B-A₁B₁M的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取DD₁中點N，連接MN，NA₁．證明∠A₁MN是異面直線A₁M與C₁D₁所成的角或其補角，
（2）由題設條件，先證明BM⊥平面A₁B₁M，再由BM?平面ABM，證明出平面ABM⊥平面A₁B₁M．
（3）利用V=

1

3

•S△ABM•BM可求三棱錐B-A₁B₁M的體積．

解答： （1）證明：取DD₁中點N，連接MN，NA₁．
因為C₁M∥D₁N，且C₁M=D₁N，所以MN∥C₁D₁．
所以∠A₁MN是異面直線A₁M與C₁D₁所成的角或其補角，
MN=C₁D₁=1，A1N=

2

，A1M=

3

，
因為MN2+A1N2=A1M2，所以∠A₁NM=90°，
所以tan∠A1MN=

A1N

MN

=

2

1

=

2

．          …（4分）
（2）證明：由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BM?平面BCC₁B₁，得A₁B₁⊥BM，①
∵A₁B₁⊥平面BCC₁B，∴∠A₁B₁M=90°，
而A₁B₁=1，B₁M=

2

，
又BM=

2

，B₁B=2，
∴B₁M²+BM²=B₁B²，從而BM⊥B₁M
又A₁B₁∩B₁M=B₁，再由①，②得BM⊥平面A₁B₁M，
而BM?平面ABM，
∴平面ABM⊥平面A₁B₁M．
（3）設三棱錐B-A₁B₁M的體積為V，則V=

1

3

•S△ABM•BM=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

2

=

1

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成的角的求法，考查三棱錐B-A₁B₁M的體積，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．