Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，D、E分別是BC、AB的中點，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB≠AC，AC＞AD，PC與DE所成的角為α，PD與平面ABC所成的角為β，二面角P-BC-A的平面角為γ，則α，β，γ的大小關系是（　　）

• A、α＜β＜γ
• B、α＜γ＜β
• C、β＜α＜γ
• D、γ＜β＜α

Answer 1

分析：PC與DE所成的角為α，這是異面直線所成的角，需把這兩條直線平移到一起去；PD與平面ABC所成的角為β，這是直線與平面所成的角，需找到平面的垂線，如：PA⊥平面ABC；二面角P-BC-A的平面角為γ，關鍵是找到此二面角的平面角，構造平面角常用的方法就是三垂線定理．

解答：解：如圖所示：
∵D、E分別是BC、AB的中點，
∴DE∥AC
∴PC與DE所成的角為α，即∠PCA
∵PA⊥平面ABC，
∴PD與平面ABC所成的角為β，即∠PDA
過點A作AQ⊥BC，垂足為Q，連接PQ，
∵PA⊥平面ABC，
∴根據三垂線定理可得：二面角P-BC-A的平面角為γ，即∠PQA，
則AC＞AD＞AQ
∴在Rt△PAC，Rt△PAD，Rt△PAQ中：tan∠PCA＜tan∠PDA＜tan∠PQA，
即tanα＜tanβ＜tanγ
又∵α，β，γ∈（0，

π

2

）
∴α＜β＜γ

點評：本小題考查空間中的線面關系，異面直線所成角、直線與平面所成的角、二面角、解三角形等基礎知識，考查空間想象能力和思維能力．