Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=+k（+lnx）（k為常數(shù)）．
（1）當k=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當k≥0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）當k=0時，f（x）=，f′（x）=，
故f（1）=e，f′（1）=﹣e，
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣e=﹣e（x﹣1），
即切線方程為：ex+y﹣2e=0；
（2）f（x）=+k（+lnx）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=+k（﹣+）=（x﹣2），
∵k≥0，且x∈（0，+∞），∴＞0，
故當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2），單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）；
（3）由（2）知，f′（x）=（x﹣2），
∵＜0在（0，2）上恒成立，
又∵函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點，
∴h（x）=ex+kx在（0，2）內(nèi)存在兩個零點，
∴y=ex與y=﹣kx的圖象在（0，2）內(nèi)有兩個交點，
作y=ex與y=﹣kx的圖象如圖，
相切時，設(shè)切點為（x，ex），
則=ex ，
故x=1；
故k1=e；
k2==，
故e＜﹣k＜，
故﹣＜k＜﹣e．

【解析】（1）求導f′（x）= ， 從而可得f（1）=e，f′（1）=﹣e，從而確定切線方程；
（2）求導f′（x）=（x﹣2） ， 從而判斷導數(shù)的正負以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）求導f′（x）=（x﹣2） ， 從而可得h（x）=ex+kx在（0，2）內(nèi)存在兩個零點，從而化為y=ex與y=﹣kx的圖象在（0，2）內(nèi)有兩個交點，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．