【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論在上的單調(diào)性;
(2)證明:在上有三個(gè)零點(diǎn).
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為,;單調(diào)遞增區(qū)間為,.(2)證明見解析
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可證明在上有3個(gè)零點(diǎn),再構(gòu)建新函數(shù)可證明在上沒有零點(diǎn).
(1),
由及,得或或.
當(dāng)變化時(shí),和的變化情況如下表:
0 | |||||||
- | 0 | + | 0 | - | 0 | + | |
↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,;
的單調(diào)遞增區(qū)間為,.
(2)當(dāng)時(shí),由(1)得,
的極小值分別為,;
極大值.又,
所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn)0;
在,上各有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí),,
令,則,
顯然時(shí),單調(diào)遞增,;
當(dāng)時(shí),,
從而時(shí),,單調(diào)遞減,
因此,即,
所以在上沒有零點(diǎn).
當(dāng)時(shí),,
令,則,
顯然時(shí),,;
當(dāng)時(shí),,
從而時(shí),,單調(diào)遞增,
因此,即,
所以在上沒有零點(diǎn).
故在上僅有三個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在斜三棱柱中,,側(cè)面是邊長為4的菱形,,,、分別為、的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家大力提倡科技創(chuàng)新,某工廠為提升甲產(chǎn)品的市場競爭力,對生產(chǎn)技術(shù)進(jìn)行創(chuàng)新改造,使甲產(chǎn)品的生產(chǎn)節(jié)能降耗.以下表格提供了節(jié)能降耗后甲產(chǎn)品的生產(chǎn)產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)的幾組對照數(shù)據(jù).
(噸) | ||||
(噸) |
(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(,)
(2)已知該廠技術(shù)改造前生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為噸,試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測節(jié)能降耗后生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知非空集合是由一些函數(shù)組成,滿足如下性質(zhì):①對任意,均存在反函數(shù),且;②對任意,方程均有解;③對任意、,若函數(shù)為定義在上的一次函數(shù),則.
(1)若,,均在集合中,求證:函數(shù);
(2)若函數(shù)()在集合中,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若集合中的函數(shù)均為定義在上的一次函數(shù),求證:存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得對一切,均有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,橢圓()的短軸長等于圓半徑的倍,的離心率為.
(1)求的方程;
(2)若直線與交于兩點(diǎn),且與圓相切,證明:為直角三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸的正半軸上,過點(diǎn)的直線與拋物線相交于,兩點(diǎn),且滿足
(1)求拋物線的方程;
(2)若是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在軸上,圓內(nèi)切于,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正數(shù)數(shù)列、滿足:≥,且對一切k≥2,k,是與的等差中項(xiàng),是與的等比中項(xiàng).
(1)若,,求,的值;
(2)求證:是等差數(shù)列的充要條件是為常數(shù)數(shù)列;
(3)記,當(dāng)n≥2(n)時(shí),指出與的大小關(guān)系并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)m,n是兩條不同直線,α,β,γ是三個(gè)不同平面,給出下列四個(gè)命題:
①若m⊥α,n⊥α,則m∥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ;
③若m∥α,n∥α,則m∥n;④若m⊥α,m∥β,則α⊥β.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的單調(diào)性;
(2)若,對于任意,是否存在與有關(guān)的正常數(shù),使得成立?如果存在,求出一個(gè)符合條件的;否則說明理由.
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